Ричард Белман

Инвариантное вложение

Ричард Белман,
Университет Южной Калифорнии,
Лос Анжелес, США

1.  Введение. Идеи Амбарцумяна очень плодотворны. В теории пере­носа излучения его идеи были использованы и расширены Чандрасекаром. «Принципы инвариантности» Амбарцумяна, развитые дальше, при­водят к теории инвариантного вложения. Это очень мощный метод в ма­тематической физике и в анализе (см. Беллман и Уинг, 1974).

Целью этой краткой статьи является сделать некоторые замечания о теории инвариантного вложения.

2.  Вложение. Одним из наиболее мощных методов в математике яв­ляется вложение. Мы не рассматриваем проблему изолированно. Скорее, мы обсуждаем целое семейство проблем.

Соотношения между членами этой семейства часто приводят к уравне­ниям, которые дают желаемые решения.

Если вложение делается во времени, то мы имеем проблемы на­чальных значений. Эти проблемы часто могут быть легко проанализирова­ны и решены численно с помощью вычислительной машины.

Если вложение делается в пространстве, то положение часто бывает более трудным. Рассмотрим, например, плоскопараллельную область. Естественные граничные условия дают поток, который падает справа и слева. Таким образом естественно возникают двухточечные граничные проблемы. Анализ этих проблем обычно является трудным.

3. Инвариантное вложение. Инвариантное вложение, как указывает название, также является методом вложения. Однако теперь вложение делается в структуру.

Например, в отмеченной выше проблеме мы взяли бы толщину слоя как существенное переменное.

Этим путем мы приходим к проблемам начальных значений, кото­рые легко могут быть анализированы и численно решены, используя вычислительную машину.

Обсуждение этих вопросов содержится в статье автора (Bellman, 1971).

4. Полугруппы. Если вложение делается во времени, мы получаем полугруппы как отражение принципа причинности. Эти соотношения могут быть легко установлены с помощью единственности.

Инвариантное вложение также приводит к полугруппам. Этот вопрос  подробно обсуждается в цитированной выше статье.

ЛИТЕРАТУРА

Bellman R., 1971, in Invariant Imbedding: Semigroups in Time, Space and Structure, Conference on Applications of Numerical Analysis, Springer-Verlag, p. 9.

Bellman R., Wing G. M., 1974, An Introduction to Invariant Imbedding, John Wiley and  Sons, Inc., New  York.